Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

 El álgebra matricial es de gran importancia en la solución de sistemas de ecuaciones lineales porque proporciona un conjunto de herramientas y técnicas para manipular y resolver sistemas de ecuaciones lineales de manera eficiente.

En lugar de trabajar con cada ecuación individualmente, podemos representar todo el sistema de ecuaciones como una matriz y utilizar operaciones matriciales para simplificar y resolver el sistema. La ventaja de trabajar con matrices es que podemos utilizar reglas algebraicas para manipular las matrices, lo que nos permite simplificar el sistema y resolverlo más fácilmente.

Además, el álgebra matricial nos permite utilizar métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con gran precisión y eficiencia, incluso para sistemas grandes y complejos. Estos métodos incluyen la eliminación gaussiana, la factorización LU, la descomposición QR, entre otros.

En resumen, el álgebra matricial es una herramienta poderosa para resolver sistemas de ecuaciones lineales y es ampliamente utilizada en diversas áreas, como la física, la ingeniería, las ciencias de la computación y la economía, entre otras.

Solución de sistemas de ecuaciones lineales usando matrices

 

resumen sobre los diferentes métodos que se aplican para solucionar sistemas de ecuaciones utilizando las matrices

 

Definiciones:

 

Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de mn elementos dispuestos en m filas y n columnas.

 

Matriz transpuesta es la matriz que se le intercambian las filas for las columnas siendo T(aij) = bij = aji

 

Matriz simétrica es la matriz que su transpuesta es igual a la original, y antisimétrica es la matriz que su transpuesta es igual a la original con signo negativo.

 

Las matrices diagonales y triangulares juegan un papel importante en la descomposición de matrices que sustentan los algoritmos mas importantes del algebra lineal.

 

La diagonal principal de la matriz está conformada por aquellas entradas donde los subíndices son iguales i =j.

 (i) Filas (j) Columnas

 

Una matriz es diagonal si y solo si todas las entradas de la diagonal son diferentes de cero y el resto son ceros.

 

Una matriz es triangular superior si y solo si todas las entradas donde los subíndices son i>j son cero.

 

Una matriz es triangular inferior si y solo si todas las entradas donde los subíndices son i<j son cero.

 

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas AX = b es soluble si existe al menos un vector S de n componentes constantes tal que AS = b. A un sistema que carece de solución lo llamamos no soluble o inconsistente.

 

Hay operaciones elementales de fila.

 

1. Sustraer a una fila un múltiplo de otra

 

2. Intercambiar dos filas

 

3. Multiplicar una fila por una constante diferente de cero

 

Método de Gauss-Jordan

 

Es un algoritmo para eterminar simultaneamente si una matriz cuadrada A tiene inversa y también resolver el sistema de ecuaciones.

 

Determinante

 

El determinante es una propiedad de las matrices que se obtiene realizando diferentes algoritmos. Esta propiedad contiene información obre la matriz y la solubilidad del sistema de ecuaciones

 

Regla de Cramer.

 

Es un método que usa determinantes para hallar la solución al sistema de ecuaciones.

 

Responder a las siguientes preguntas:

a. ¿Cual de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

El método de Gauss es  un sistema que busca triangular una matriz aumentada mediante operaciones elementales ya que consiste en sustituir el sistema dado por otro equivalente tras varias transformaciones, para conseguir un sistema triangular escalonado. El proceso consiste en hacer ceros por debajo de la diagonal principal mediante las operaciones básicas.

 

b. ¿Que ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

Ya que es un sistema de ecuaciones corto, los resultados de las incógnitas se resuelven mas fácilmente 

c. Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.    

Metodo Gauss
Metodo de Sarrus

Cálculo del determinante de una matriz cuadrada de orden 4

 

Después, multiplicar el valor del menor por el cofactor y por su signo y sumar lo de todos los cofactores

 

El determinante de una matriz de orden n se puede calcular de n^2 maneras diferentes ya que el desarrollo por cofactores se puede realizar por filas o por columnas.

 

Método de Sarrus: también llamado la estrella de David consiste en 2 partes, la primera es sumar la multiplicación de la diagonal, más la multiplicación del primer triángulo formado a la derecha de este y su inverso, a esto se le resta la multiplicación de la diagonal secundaria más el triángulo formado a su derecha más su inverso

 

Método único para matrices de 3x3: Este método consiste en aumentar a la derecha las dos primeras columnas o abajo las dos primeras filas de tal manera que con estas obtengamos la multiplicación de las diagonales principales y sumar sus productos de cada una y restar de este valor la suma de las multiplicaciones de las otras diagonales.