OPERACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ PARA REDUCIR A UNA MATRIZ TRIANGULAR
Para reducir una
matriz a su forma triangular mediante operaciones elementales con filas, se
pueden seguir los siguientes pasos:
- Escribir la matriz original, A.
- Identificar el primer elemento no
nulo de la primera fila de A, digamos a11.
- Si a11 es igual a cero, intercambiar
la primera fila de A con otra fila que tenga un elemento no nulo en la
columna 1.
- Multiplicar la primera fila de A por
un escalar k1 de tal manera que el nuevo elemento a11 sea igual a 1.
- Restar múltiplos adecuados de la
primera fila de A a todas las demás filas para hacer cero todos los
elementos de la columna 1, excepto el a11.
- Eliminar la primera fila y la primera
columna de A, obteniendo una submatriz A' de tamaño (n-1)x(n-1).
- Si A' es de tamaño 1x1, detener el
proceso. Si no, repetir desde el paso 2 con la submatriz A'.
Una vez que se tiene la matriz A en su forma triangular, el rango de A es
igual al número de filas no nulas que tiene.
EJEMPLO 1: Un
ejemplo de reducción de matriz a forma triangular mediante operaciones
elementales con filas es el siguiente:
Para triangular
una matriz, se deben realizar operaciones elementales de fila para convertir
los elementos debajo de la diagonal principal en cero.
1. Comenzamos con
la matriz original:
|4 2 0|
|1 3 2|
|-1 3 10|
2. Para convertir
el elemento en la primera fila y primera columna en 1, podemos dividir la
primera fila por 4:
|1 1/2 0|
|1 3 2|
|-1 3 10|
3. Luego, para
convertir los elementos debajo del elemento (1,1) en cero, restamos la primera
fila multiplicada por 1 a la segunda fila:
|1 1/2 0|
|0 5/2 2|
|-1 3 10|
4. Para convertir
el elemento en la tercera fila y primera columna en 0, sumamos la primera fila
multiplicada por 1 a la tercera fila:
|1 1/2 0|
|0 5/2 2|
|0 7/2 10|
5. Finalmente,
para convertir el elemento en la tercera fila y segunda columna en 0, restamos
la segunda fila multiplicada por 7/5 a la tercera fila:
|1 1/2 0|
|0 5/2 2|
|0 0 6/5|
6. La matriz
resultante es triangular superior, con los elementos debajo de la diagonal
principal convertidos en cero:
|1 1/2 0|
|0 5/2 2|
|0 0 6/5|
1. El rango de
una matriz es el número de filas no nulas en la matriz reducida por filas. En
este caso, la matriz triangular reducida es:
|1 1/2 0|
|0 5/2 2|
|0 0 6/5|
La matriz
reducida tiene tres filas no nulas, por lo que el rango de la matriz original
es 3.
Descripción del
procedimiento para reducir una matriz a su matriz triangular mediante el método
de matriz aumentada [A][I]:
- Se escribe la matriz A en la parte
izquierda de una matriz aumentada [A][I] y se coloca la matriz identidad I
en la parte derecha.
- Se aplican operaciones elementales a
las filas de la matriz aumentada [A][I] para reducir la matriz A a su
forma triangular superior. Estas operaciones pueden ser: a. Multiplicar
una fila por una constante distinta de cero. b. Intercambiar dos filas. c.
Sumar una fila multiplicada por una constante distinta de cero a otra
fila.
- El resultado será una matriz
triangular superior en la parte izquierda de la matriz aumentada [A][I].
La parte derecha de la matriz aumentada [A][I] será la matriz inversa de
A, pero aún no se puede leer.
- Se aplica el método de eliminación
hacia atrás para calcular la parte derecha de la matriz aumentada [A][I] y
obtener la matriz inversa de A.
EJEMPLO 2: Claro,
a continuación describiré paso a paso el procedimiento para reducir una matriz
a su forma triangular mediante el método de matriz aumentada [A][I], utilizando
el siguiente ejemplo:
Dada la matriz A:
| 1 2 -1 | | 2 4 -1 | |-1 -1 2 |
- Creamos
la matriz aumentada [A][I] concatenando la matriz A con la matriz
identidad I:
| 1 2 -1 | 1 0 0 |
| 2 4 -1 | 0 1 0 |
|-1 -1 2 | 0 0 1 |
- Realizamos
operaciones elementales en las filas de [A][I] para transformarla en una
matriz triangular superior:
•
F2 ← F2 - 2F1
| 1 2 -1 | 1 0 0 |
| 0 0 1 |-2 1 0 |
|-1 -1 2 | 0 0 1 |
•
F3 ← F3 + F1
| 1 2 -1 | 1 0 0 |
| 0 0 1 |-2 1 0 |
| 0 1 1 | 1 0 1 |
•
F1 ← F1 + F2
| 1 2 0 |-1 1 0 |
| 0 0 1 |-2 1 0 |
| 0 1 1 | 1 0 1 |
- Si
la matriz resultante es triangular superior, entonces el rango de la
matriz original es igual al número de filas no nulas en la matriz
triangular superior. En este ejemplo, la matriz resultante es triangular
superior con tres filas no nulas, por lo que el rango de la matriz
original es 3.
Descripción del
procedimiento para encontrar la matriz inversa mediante el método de
determinante:
1. Se calcula el
determinante de la matriz A.
2. Si el
determinante es cero, entonces la matriz A no tiene inversa. Si el determinante
es distinto de cero, se continúa con el proceso.
a. Se encuentra
la matriz de cofactores C de A. La matriz de cofactores se encuentra de la
siguiente manera: Se calcula el cofactor
de cada elemento de A.
b. El cofactor de un elemento aij se calcula
como (-1)i+j veces el determinante de la matriz obtenida al eliminar la fila i
y la columna j de A.
c. Los elementos
de la matriz de cofactores C se colocan en la misma posición que los elementos
de A, pero con los signos cambiados según corresponda.
3. Se encuentra
la matriz adjunta de A. La matriz adjunta de A es la transpuesta de la matriz
de cofactores C.
4. Se divide la
matriz adjunta de A entre el determinante de A. El resultado es la matriz
inversa de A.
La realización
fue muy útil para reforzar los conocimientos adquiridos sobre operaciones
elementales con matrices y encontrar la matriz inversa por medio de dos métodos
diferentes. La presentación con diapositivas permitió una mejor visualización
de los conceptos y los pasos a seguir
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