Solución sistema ecuaciones método de Gauss-Jordan

 

Método de Gauss – Jordan 

El método de Gauss – Jordan consiste en transformar la matriz aumentada del sistema en una matriz diagonal usando únicamente operaciones elementales, proceso relativamente simple, ya que podemos elegir arbitrariamente la operación elemental más conveniente, así como los escalares más adecuados que se utilizarán como factores. Así el sistema:

Tiene matriz aumentada

La cual podemos llevar a una forma escalonada por medio de operaciones elementales de fila

Existen tres operaciones y estas son:

Operaciones elementales en Filas:

i) Multiplicar (o dividir) una Fila por un número diferente de cero.

ii) Sumar un múltiplo de una Fila a otro renglón.

iii) Intercambiar dos Filas.

El proceso de aplicar las operaciones elementales por renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones.

Notación:

1. Ri → cRi quiere decir “reemplaza la i-ésima Fila por esa misma Fila multiplicado por c”. [Para multiplicar la i-ésima Fila por c se multiplica cada número en la i-ésima Fila por c.]

2. Rj → Rj + cRi significa sustituye el j-ésima Fila por la suma de la Fila j más la Fila i multiplicado por c.

3. Ri ⇄ Rj quiere decir “intercambiar las Filas i y j”.

4. A → B indica que las matrices aumentadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solución. 

La matriz aumentada llevada a una forma diagonal mediante operaciones elementales, se tiene: 

La cual equivale al sistema:

Que tiene solución:

La diferencia entre este método y el método de Gauss es que este método lo estamos aplicando directamente a una matriz a diferencia de aplicarlo al sistema de ecuaciones y obtenemos una sistema escalonado. El método de Gauss-Jordan finaliza cuando encontramos la matriz escalonada reducida.

El beneficio de realizar el método de Gauss Jordan es que para una matriz de un grado muy grande nos permite realizar los cómputos de una manera simple y aunque puede ser largo solo usaremos tres operaciones elementales.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA  

  

  

Primer punto: 

Plantear el sistema de ecuaciones para hallar un número de tres cifras sabiendo que la suma de sus cifras es 11, que la suma de la primera y la tercera cifra es 5 y que la segunda cifra es el doble de la tercera. 

 

 

Segundo punto: 

 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss 

 

x  + 2y - 3z = -16 

3x +  y  - 2z = -10 

2x - 3y +  z  = -4 

 

Tercer Punto 

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales 

x +  y +  z  =  3       2y + 3z = 15 

2x + 4y 5z =  21 

 

!Muy importante! Para tener en cuenta: 

 

Muestre la matriz ampliada original de cada sistema de ecuaciones en cada uno de los puntos. 

Indique las operaciones elementales y cada matriz resultante después aplicar cada paso. 

En cada punto debe hacer una reflexión si el sistema tiene solución, si es única y en caso de no tenerla, por qué no la tiene. 

Si requiere de más espacio para el desarrollo puede agregar páginas necesarias 

   

DESARROLLO

 

 

Primer punto: 

Plantear el sistema de ecuaciones para hallar un número de tres cifras sabiendo que la suma de sus cifras es 11, que la suma de la primera y la tercera cifra es 5 y que la segunda cifra es el doble de la tercera. 

 

 

Para plantear el sistema de ecuaciones, podemos denotar el número de tres cifras como ABC, donde A representa la cifra en la posición de las centenas, B la cifra en la posición de las decenas y C la cifra en la posición de las unidades. Luego, podemos utilizar la información dada en el enunciado para obtener las siguientes ecuaciones:

 

La suma de las cifras es 11: A + B + C = 11

 

La suma de la primera y la tercera cifra es 5: A + C = 5

 

La segunda cifra es el doble de la tercera: B = 2C

 

Podemos usar las ecuaciones 2 y 3 para despejar A y B en términos de C. Primero, de la ecuación 2, podemos despejar A como A = 5 - C. Luego, de la ecuación 3, podemos sustituir B por 2C, para obtener B = 2C.

 

Así, nuestro sistema de ecuaciones queda:

A + B + C = 11 

A  + C = 5 

B  = 2C

 

Sustituyendo las expresiones para A y B en términos de C, obtenemos:

(5 - C) + 2C + C = 11

5 + 2C = 11 

2C = 6 

C = 3

Luego, podemos utilizar esta solución para C en las ecuaciones 2 y 3 para obtener A y B: A + 3 = 5 

A  = 2

B  = 2(3)  B = 6

Por lo tanto, el número de tres cifras que cumple con las condiciones dadas es 263.

 

por el método de Gauss  

 

Se realiza la matriz aumentada:

 

  X     Y       Z

  1     1       1     11

  1     0       1      5

  0     1      -2      0

 

La celda (2, 1) la convertimos en cero, entonces F2- 1 *F1->F2

1     1       1     11

0    -1       0     -6

0         1      -2     0

 

La celda (3,1) la convierto en cero, entonces F3-(-1)*F2->F3

1         1       1     11

0    -1       0     -6

0     0      -2     -6

 

 

Entonces tenemos:

 

x + y + z = 11

     -y       = -6          -2z = -6

De la ecuación 3 del sistema (1) encontramos con la variable z:

−2z=−6 z=3

De la ecuación 2 del sistema (1) encontramos con la variable y:

−y=−6

  y=6

De la ecuación 1 del sistema (1) encontramos con la variable x:

x=11−y−z=11−6−3=2 La respuesta: x=2 y=6 z=3

 

La solución del sistema de ecuaciones dada por x=2, y=6, z=3 satisface todas las ecuaciones del sistema:

 

A + B + C = 11 2 + 6 + 3 = 11

A  + C = 5 2 + 3 = 5

B  = 2C 6 = 2(3)

 

Por lo tanto, podemos decir que la solución dada es correcta.

 

En conclusión, al utilizar el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones, se confirmó que Como se obtuvo una solución única, podemos concluir que el sistema tiene una única solución.

 

 

 

Segundo punto: 

 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss 

 

x  + 2y - 3z = -16 

3x +  y  - 2z = -10 

2x - 3y +  z  = -4 

 

Se realiza la matriz aumentada:

 

  X     Y       Z

  1     2      -3     -16

  3    1       -2     -10

  2    -3       1     -4

 

La celda (2, 1) la convertimos en cero, entonces F2- 3 *F1->F2

1     2      -3     -16

0    -5      7       38

2    -3       1     -4

 

La celda (3,1) la convierto en cero, entonces F3-2*F1->F3

1     2      -3     -16

0    -5       7      38

0         -7       7      28

 

F3 menos (-7/5), entonces F3-(-7/5)*F2->F3

1         2      -3      -16

0    -5       7       38

0     0     -14/5  -126/5

 

Entonces tenemos:

 

1x   +  2y        -3z     =     -16

          -5y   +    7z     =      38

                      -14/5z =    -126/5

 

 

 

De la ecuación 3 del sistema (1) encontramos con la variable z:

−14/5z=−126/5 z=9

De la ecuación 2 del sistema (1) encontramos con la variable y:

−5y=38−7z=38−7*(9)=−25

y=5

De la ecuación 1 del sistema (1) encontramos con la variable x1:

x=−16−2y+3z=−16−2*(5)+3*(9)=1

x=1

 

la respuesta es:

 

x  = 1

 

y  = 5 

 

z  = 9

 

La solución dada por x=1, y=5, z=9 satisface todas las ecuaciones del sistema:

 

1 + 2(5) - 3(9) = -16 

3(1) + 5 - 2(9) = -10

 2(1) - 3(5) + 9 = -4

 

Por lo tanto, podemos decir que la solución dada es correcta.

 

En conclusión, al utilizar el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones, se confirmó que Como se obtuvo una solución única, podemos concluir que el sistema tiene una única solución.

 

 

 

 

Tercer Punto 

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales  x +  y +  z  =  3       

2y + 3z = 15 

2x + 4y + 5z =  21 

 

Se realiza la matriz aumentada:

 

  X     Y       Z

  1     1       1       3

  0     2       3     15

  2     4       5     21

 

La celda (2, 1) la convertimos en cero, entonces F3- 2*F1->F3

1     1       1       3

0     2       3     15

0         2       3     15

 

La fila (3) la convierto en cero, entonces F3-1*F2->F3

1         1       1       3 0     2       3     15

0     0       0      0

 

 

Entonces tenemos:

 

x   +   y  +    z    =    3

        2y  +   3z    =   15

                      

De la ecuación 2 del sistema (1) encontramos con la variable y:

2y=15−3z y=15/2−(3*z)/2

De la ecuación 1 del sistema (1) encontramos con la variable x:

x=3−y−z=3−(15/2−(3*z)/2)−z=−9/2+(1*z)/2

 

 

 

la respuesta es:

 

x  = −9/2+(1*z)/2

 

y  = 15/2−(3*z)/2

 

z  = z

 

Cuando una variable en un sistema de ecuaciones se iguala a sí misma, significa que esa variable es una variable libre o independiente.

 

En el ejemplo dado, la variable "z" se iguala a sí misma, lo que indica que "z" puede tomar cualquier valor sin restricciones. Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones sería un conjunto de valores para las variables "x" e "y" en función de cualquier valor que se elija para la variable "z".

 

Por ejemplo, si se elige un valor de "z" igual a 2, entonces se puede calcular que:

 

x = -9/2 + (1*2)/2 = -7/2 y = 15/2 - (3*2)/2 = 9/2 z = 2

 

Así que una posible solución del sistema de ecuaciones sería (x, y, z) = (-7/2, 9/2, 2). Sin embargo, como la variable "z" es libre, se pueden encontrar infinitas soluciones distintas, una para cada posible valor que se le asigne a "z". En conclusión, al utilizar el método de Gauss para resolver el sistema de ecuaciones, se confirmó que no tiene una única solución.