ocho axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial

Para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial, se deben verificar los siguientes ocho axiomas:

Cerradura bajo la adición: La suma de dos elementos del conjunto también pertenece al conjunto. Si u y v son elementos del conjunto, entonces u + v también es un elemento del conjunto.

Cerradura bajo la multiplicación por un escalar: La multiplicación de un elemento del conjunto por un escalar también pertenece al conjunto. Si u es un elemento del conjunto y k es un escalar, entonces k * u también es un elemento del conjunto.

Asociatividad de la adición: La adición de elementos es asociativa. Para tres elementos u, v y w del conjunto, se cumple que (u + v) + w = u + (v + w).

Existencia de un elemento neutro aditivo: Existe un elemento del conjunto, llamado el vector cero o elemento neutro aditivo, que sumado a cualquier elemento del conjunto no cambia su valor. Para cualquier elemento u del conjunto, existe un elemento 0 tal que u + 0 = u.

Existencia de un elemento opuesto aditivo: Para cada elemento del conjunto, existe un elemento opuesto aditivo que al sumarse con dicho elemento resulta en el vector cero. Para cada elemento u del conjunto, existe un elemento -u tal que u + (-u) = 0.

Conmutatividad de la adición: La adición de elementos es conmutativa. Para dos elementos u y v del conjunto, se cumple que u + v = v + u.

Distributividad de la multiplicación sobre la adición de vectores: La multiplicación de un escalar por la suma de dos vectores es igual a la suma de las multiplicaciones individuales. Para cualquier escalar k y los elementos u y v del conjunto, se cumple que k * (u + v) = k * u + k * v.

Distributividad de la multiplicación sobre la adición de escalares: La multiplicación de la suma de dos escalares por un vector es igual a la suma de las multiplicaciones individuales. Para cualquier escalar k y los elementos u del conjunto, se cumple que (k1 + k2) * u = k1 * u + k2 * u.

Estos ocho axiomas son las propiedades fundamentales que deben cumplir los conjuntos para ser considerados espacios vectoriales. Si un conjunto cumple con todos estos axiomas, entonces se puede afirmar que es un espacio vectorial.