Transformaciones lineales

 

TIA:  Informe - Transformaciones lineales

 

 

 

 

RUTH BEATRIZ MORENO ECHAVARRIA

 

 

 

JAIME ALBERTO ALZATE MARULANDA

INSTITUCION UNVERSITARIA PASCUAL BRAVO

 

19/04/2023

MEDELLIN

 

 

ALGEBRA LINEAL

 

 

 

 

1.      Qué es una tranformación lineal

 

Una transformación lineal es una función matemática que actúa sobre un espacio vectorial, tomando vectores como entradas y produciendo vectores como salidas, de manera que preserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares.

Más formalmente, sea V y W dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K (por ejemplo, los números reales). Una función T: V -> W se llama una transformación lineal si cumple las siguientes propiedades:

T(u + v) = T(u) + T(v) para todo u y v en V (preserva la suma de vectores).

T(cu) = cT(u) para todo escalar c y todo u en V (preserva la multiplicación por escalares).

Estas propiedades implican que la transformación lineal preserva las operaciones vectoriales básicas y, por lo tanto, mantiene la estructura lineal del espacio vectorial.

Una transformación lineal puede ser representada por una matriz si se eligen bases adecuadas para los espacios vectoriales V y W. En este caso, la transformación lineal se puede describir mediante una multiplicación de matrices. La matriz asociada a la transformación lineal se llama matriz de transformación.

 

 

2.      Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal

Para que exista una transformación lineal entre dos espacios vectoriales, deben cumplirse las siguientes condiciones:

Los espacios vectoriales deben estar definidos sobre el mismo cuerpo: La transformación lineal requiere que los espacios vectoriales de partida y llegada estén definidos sobre el mismo campo escalar. Por ejemplo, si se tiene un espacio vectorial sobre los números reales y otro sobre los números complejos, no se puede definir una transformación lineal entre ellos.

Preservación de la suma de vectores: Para que una función sea una transformación lineal, debe preservar la operación de suma de vectores. Esto significa que para cualquier par de vectores u y v en el espacio vectorial de partida, la suma de los vectores transformados debe ser igual a la transformación de la suma de los vectores individuales: T(u + v) = T(u) + T(v).

Preservación de la multiplicación por escalares: La transformación lineal también debe preservar la multiplicación por escalares. Esto implica que para cualquier vector u en el espacio vectorial de partida y cualquier escalar c, el resultado de multiplicar el vector transformado por el escalar debe ser igual a la transformación del vector original multiplicado por el escalar: T(cu) = cT(u).

Estas condiciones aseguran que la función conserva la estructura lineal de los espacios vectoriales, es decir, preserva las operaciones de suma y multiplicación por escalares. Si se cumplen estas condiciones, se puede decir que existe una transformación lineal entre los espacios vectoriales dados.

 

 

3.      Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales

Aquí tienes cinco propiedades y teoremas importantes relacionados con las transformaciones lineales:

-Preservación de la combinación lineal: Una transformación lineal preserva la combinación lineal de vectores. Esto significa que para cualquier conjunto de vectores {v_1, v_2, ..., v_n} y escalares correspondientes {c_1, c_2, ..., c_n}, la transformación lineal de la combinación lineal es igual a la combinación lineal de las transformaciones individuales: T(c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n) = c_1T(v_1) + c_2T(v_2) + ... + c_nT(v_n).

--Preservación del vector nulo: Una transformación lineal preserva el vector nulo. Esto significa que la transformación del vector nulo en el espacio vectorial de partida es igual al vector nulo en el espacio vectorial de llegada: T(0) = 0.

Preservación de la independencia lineal: Una transformación lineal preserva la independencia lineal de vectores. Si un conjunto de vectores {v_1, v_2, ..., v_n} es linealmente independiente en el espacio vectorial de -partida, entonces su transformación {T(v_1), T(v_2), ..., T(v_n)} también es linealmente independiente en el espacio vectorial de llegada.

-Preservación de la dimensión: Una transformación lineal preserva la dimensión de los espacios vectoriales. Si V y W son espacios vectoriales, y T: V -> W es una transformación lineal, entonces la dimensión de V es igual a la dimensión de W.

-Núcleo y rango de una transformación lineal: El núcleo (kernel) y el rango de una transformación lineal son dos conceptos importantes. El núcleo de una transformación lineal T: V -> W es el conjunto de vectores en V que se mapean al vector nulo en W: ker(T) = {v en V | T(v) = 0}. El rango de T es el conjunto de todos los vectores en W que son imágenes de algún vector en V: rango(T) = {T(v) en W | v en V}. Estos conjuntos tienen propiedades y características específicas que se pueden utilizar para analizar y entender las transformaciones lineales.

 

4.      Un ejemplo de una transformación lineal.

Un ejemplo común de una transformación lineal es la rotación en el plano bidimensional. Supongamos que tenemos un espacio vectorial V que representa puntos en el plano y un espacio vectorial W que también representa puntos en el plano.

La transformación lineal de rotación R: V -> W toma un punto en el plano de partida y lo rota un cierto ángulo alrededor de un punto fijo, como el origen.

Para ilustrar esto, consideremos un caso específico de una rotación de 90 grados en sentido antihorario en el plano. Tomemos el espacio vectorial V como el plano cartesiano con coordenadas (x, y) y el espacio vectorial W también como el plano cartesiano con coordenadas (x', y').

La transformación lineal de rotación R(90°): V -> W se define como:

R(90°)(x, y) = (-y, x)

Por lo tanto, si tenemos un punto (2, 3) en el plano V, su imagen bajo la transformación de rotación de 90 grados será:

R(90°)(2, 3) = (-3, 2)

Podemos ver que esta transformación cumple con las propiedades de una transformación lineal, ya que preserva la suma de vectores y la multiplicación por escalares.

 

5.      Cómo probar esa transformación lineal.

Para probar que la transformación R(90°): V -> W definida anteriormente es una transformación lineal, debemos verificar que cumple con las dos propiedades fundamentales: preservación de la suma de vectores y preservación de la multiplicación por escalares.

-Preservación de la suma de vectores: Tomemos dos vectores u = (x1, y1) y v = (x2, y2) en el espacio vectorial V. La suma de estos vectores es u + v = (x1 + x2, y1 + y2). Ahora, apliquemos la transformación lineal R(90°) a ambos vectores:

R(90°)(u) = R(90°)(x1, y1) = (-y1, x1) R(90°)(v) = R(90°)(x2, y2) = (-y2, x2)

Luego, sumemos las transformaciones de los vectores individuales:

R(90°)(u) + R(90°)(v) = (-y1, x1) + (-y2, x2) = (-y1 - y2, x1 + x2)

Por otro lado, sumemos la transformación de la suma de vectores:

R(90°)(u + v) = R(90°)(x1 + x2, y1 + y2) = (-(y1 + y2), x1 + x2)

Observamos que ambos resultados son iguales (-y1 - y2 = -(y1 + y2) y x1 + x2 = x1 + x2), lo que demuestra que la transformación lineal R(90°) preserva la suma de vectores.

-Preservación de la multiplicación por escalares: Tomemos un escalar c y un vector u = (x, y) en el espacio vectorial V. La multiplicación del vector por el escalar es c * u = (c * x, c * y). Aplicando la transformación lineal R(90°) al vector:

R(90°)(c * u) = R(90°)(c * x, c * y) = (-c * y, c * x)

Por otro lado, apliquemos la multiplicación por el escalar a la transformación del vector original:

c * R(90°)(u) = c * R(90°)(x, y) = c * (-y, x) = (-c * y, c * x)

Podemos ver que ambos resultados son iguales (-c * y = -c * y y c * x = c * x), lo que demuestra que la transformación lineal R(90°) preserva la multiplicación por escalares.

Dado que la transformación lineal R(90°) cumple con ambas propiedades, podemos concluir que es una transformación lineal válida.

 

 

Cibergrafía

 

Khan Academy: Linear Algebra - Transformations: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix-transformations

MathIsFun: Linear Transformations: https://www.mathsisfun.com/geometry/transformations-matrix.html

 

 

 

NOTA:

 

 

Aanexo link con TIA en Google drive : https://docs.google.com/document/d/1mSMqRcDWCjS8pgjAvNkSceygeBZgpREa/edit?usp=share_link&ouid=117468589739672827231&rtpof=true&sd=true.

 

Adicional menciono mi reflexión acerca de la TIA, me parece que fue una actividad muy interesante ya que se analizo unos nuevos conceptos de el algebra lineal y se realizó la aplicación practica al igual que la comprobación de esta aplicación, lo cual es muy practico ya que nos permite aplicar los nuevos conceptos y comprenderlos de manera más detallada.