Espacios vectoriales

Espacios vectoriales

Un espacio vectorial es una estructura algebraica que consta de un conjunto de elementos llamados vectores, sobre un cuerpo o un campo, y está equipado con dos operaciones: la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. Estas operaciones deben satisfacer ciertas propiedades para que el conjunto sea considerado un espacio vectorial.

Formalmente, un espacio vectorial V sobre un cuerpo K es un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, junto con dos operaciones:

1.            Suma de vectores: Para cada par de vectores u y v en V, hay una tercera operación llamada suma de vectores, denotada como u + v, que asigna otro vector en V. La suma de vectores debe cumplir las siguientes propiedades:

•             Conmutatividad: u + v = v + u para todo u y v en V.

•             Asociatividad: (u + v) + w = u + (v + w) para todo u, v y w en V.

•             Existencia de elemento neutro: Existe un vector 0 en V tal que u + 0 = u para todo u en V.

•             Existencia de inverso aditivo: Para cada vector u en V, existe un vector -u en V tal que u + (-u) = 0.

2.            Multiplicación por un escalar: Para cada vector u en V y cada escalar c en K (el cuerpo o campo), hay una tercera operación llamada multiplicación por un escalar, denotada como cu, que asigna otro vector en V. La multiplicación por un escalar debe cumplir las siguientes propiedades:

•             Asociatividad de la multiplicación: (cd)u = c(du) para todo c, d en K y u en V.

•             Distributividad respecto a la suma de vectores: c(u + v) = cu + cv para todo c en K y u, v en V.

•             Distributividad respecto a la suma de escalares: (c + d)u = cu + du para todo c, d en K y u en V.

•             Identidad multiplicativa: 1u = u, donde 1 es el elemento neutro de la multiplicación en K.

Estas propiedades definen las reglas fundamentales de los espacios vectoriales y permiten realizar operaciones algebraicas en ellos. Los espacios vectoriales son utilizados en diversos campos, como álgebra lineal, geometría y física, entre otros. Algunos ejemplos comunes de espacios vectoriales son el espacio euclidiano tridimensional, el espacio de polinomios y el espacio de matrices.