Dimensión y el rango de un subespacio y que es una base

 La dimensión de un subespacio es la cantidad de vectores linealmente independientes necesarios para generar dicho subespacio. En otras palabras, es la cantidad mínima de vectores necesarios para abarcar todo el subespacio. La dimensión se representa por un número entero no negativo. Por ejemplo, en el caso del plano en el espacio tridimensional, su dimensión es 2, ya que se necesita un mínimo de dos vectores linealmente independientes para abarcar todo el plano.

El rango de un subespacio es la cantidad de vectores linealmente independientes que forman una base para ese subespacio. En otras palabras, es la dimensión del espacio generado por los vectores del subespacio. El rango también se representa por un número entero no negativo.

Una base de un subespacio es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el subespacio cuando se combinan linealmente. Estos vectores de la base son necesarios y suficientes para expresar cualquier vector dentro del subespacio como una combinación lineal de ellos. La base es un conjunto mínimo y máximo, lo que significa que no se pueden eliminar vectores de la base sin dejar de generar el subespacio, y no se pueden agregar más vectores sin generar redundancia. La cantidad de vectores en la base de un subespacio coincide con la dimensión de ese subespacio.

En conclusion, la dimensión de un subespacio es la cantidad mínima de vectores linealmente independientes necesarios para abarcar el subespacio, mientras que el rango es la cantidad de vectores linealmente independientes que forman una base del subespacio. Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que generan todo el subespacio.